设函数，若关于的方程在上恰好有两个相异实根，则实数的取值范围为______________．

题文

设函数

，若关于

的方程

在

上恰好有两个相异实根，则实数

的取值范围为______________． 题型：未知 难度：其他题型

答案

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

方程f（x）=x²+x+a可化为x-a+1-ln（1+x）²=0，由于此方程为非基本方程，故求方程的根，可以转化为求对应函数的零点问题，利用导数法我们易构造出满足条件的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．解：若f（x）=x²+x+a，即（1+x）²-ln（1+x）²=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，则g'（x）=

，令g'（x）＞0，得x＞1，或x＜-1，令g'（x）＜0，得-1＜x＜1，∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；，若方程f（x）=x²+x+a在x∈[0，2]上恰好有两个相异实根，则，g(0)≥0，g(1)＜0，g(2)≥0，解得2-2ln2＜a≤3-2ln3，故答案为：（2-2ln2，3-2ln3]
点评：本题考查的知识点是方程的根的分布，其中利用方程的根与对应函数之间的关系，将方程f（x）=x²+x+a在x∈[0，2]上恰好有两个相异实根，转化为对应函数在区间∈[0，2]上恰好有两个相异的零点是解答本题的关键．

考点

据考高分专家说，试题“设函数，若关于的方程在上恰好有两个相异实.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.