题文
已知函数
．
（1）证明函数
的图像关于点
对称;
（2）若
，求
；
（3）在（2）的条件下，若
，
为数列
的前
项和，若
对一切
都成立，试求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数
的定义域为
，设
、
是函数
图像上的两点, 其中
且
,则有
，因此函数图像关于点
对称（2）
（3）
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解析
（1） 证明：因为函数
的定义域为
， 设
、
是函数
图像上的两点, 其中
且
,
则有
因此函数图像关于点
对称 4分
（2）由（1）知当
时，
①
②
①+②得
8分
（3）当
时，
当
时，
，
当
时，
=
∴
（
）
又
对一切
都成立，即
恒成立
∴
恒成立，又设
,
所以
在
上递减,所以
在
处取得最大值
∴
，即
所以
的取值范围是
12分
点评：证明函数
关于点
对称只需证明
，第二问数列求和结合通项的特点采用倒序相加法，第三问将不等式恒成立转化为求函数最值，进而可借助于导数求解
考点
据考高分专家说，试题“已知函数． （1）证明函数的图像关于点对.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
