已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋

题文

已知m∈R，对p：x₁和x₂是方程x²－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x²＋2mx＋m＋

有两个不同的零点.求使“p且q”为假命题、“p或q”为真命题的实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

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解析

解：由题设知x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，
∴|x₁－x₂|＝＝.    
a∈[1,2]时，的最小值为3，要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8.        
由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4，       
综上，要使“p且q”为假命题、“p或q”为真命题，只需p真q假或p假q真，即

 或

 解得实数m的取值范围是

.   
点评：逻辑联结词有三个：且、或和非。在且命题中，只有两个命题都为真时，且命题才为真，而在或命题中，只要一个命题为真时，或命题就为真。

考点

据考高分专家说，试题“已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2－.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.