已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性

题文

已知函数f(x)＝x²＋

 (x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2) f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．

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解析

(1)当a＝0时，f(x)＝x²，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．   3分
当a≠0时，f(x)＝x²＋

x≠0，常数a∈R)，                 5分
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．               6分
(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x²＋

.
任取x₁，x₂∈[2，＋∞)，且x₁2，
则f(x₁)－f(x₂)＝(x₁²＋

)－(x₂²＋

)
＝(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＋


＝(x₁－x₂)(x₁＋x₂－

)．
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁2，
∴x₁－x₂<0，x₁＋x₂>

，所以f(x₁)2)，
故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．                 12分
点评：解决函数的性质问题的关键是掌握函数性质的概念，另还要掌握常见的判断方法。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.