题文
已知函数
，g（x）=
，a，b∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；
（3）记函数F（x）=|f（x）|，证明：存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当
时，
为单调增区间，
当
时，
为单调减区间，
为单调增区间．
（2）b＜1
（3）首先根据（1）的结论，讨论可得只有0＜a＜
时直线l与y=F（x）的图象有两个切点．设切点的横坐标分别为s、t且s＜t，可得l与y=F（x）的图象有两个切点分别为直线l与曲线
在x∈（s，t）的切点和曲线
在x∈（t，+∞）的切点．由此结合直线的斜率公式和导数的几何意义列出关于a、x1、y1、x2、y2的关系式，化简整理可得
，再令
=k（0＜k＜1），转化为（k2+1）lnk=2k2﹣2．令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理证出：存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0．由此即可得到原命题成立．
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解析
（1）因为f'（x）=﹣
+
=
，
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（2分）
②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，
当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0．
所以（0，a）为单调减区间，（a，+∞）为单调增区间．
综上可得，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调增区间为（a，+∞）． …（4分）
（2）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=
，
∴h'（x）=bx﹣2+
=
，…（5分）
h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根，
由h'（x）=0得bx2﹣2x+1=0，…（6分）
（ i）b=0，x=
，满足题意；…（7分）
（ ii）b＞0时，b•12﹣2•1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）
（ iii）b＜0时，b•12﹣2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；
综上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1． …（9分）
（3）证明：由（1）可知：
（ i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，
所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意．…（10分）
（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna．
若1+lna≥0，a≥
时，由图象知不可能有两个切点．…（11分）
故0＜a＜
，设f（x）图象与x轴的两个切点的横坐标为s，t（不妨设s＜t），
则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与
和
的切点．
y1'=
﹣
=
，y2'=﹣
+
=
，
设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜x2，且
=
=﹣
﹣
，
=
=
+
，
=
，
即
=1﹣lnx1…①；
=1﹣lnx2…②；a=
，③
①﹣②得：
﹣
=﹣lnx1+lnx2=﹣ln
，
由③中的a代入上式可得：（
﹣
）•
，
即
，…（14分）
令
=k（0＜k＜1），则（k2+1）lnk=2k2﹣2，令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），
因为
=1﹣
＞0，
=﹣
＜0，
故存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0，
即存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．…（16分）
点评：本题给出含有分式和对数的基本初等函数，求函数f（x）的单调区间、讨论函数f（x）+g（x）的极值点并证明了函数|f（x）|图象与过原点的直线相切的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和用导数求函数图象的切线等知识，属于难题．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，g（x）=，a，b∈R．（1）.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
