设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝a

题文

设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝

.
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）

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解析

(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有：
x－

，x＋

，x＋

，4x－

，4x＋

，4x＋

，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a＞0，b＞0时，ax＋

在

上递减，在

上递增；
x－

和4x－

在(0，＋∞)上递增，
∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－

，x＋

，x＋

，4x－

，故事件A包含的基本事件有4种，
∴P(A)＝

＝

，故所求概率是

.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，
∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋

≤8，



∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝

，
故所求概率是

.

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.