设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜。(1)当x∈［0，x1时，证明x＜f(x)＜x1；(

题文

设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜

。
(1)当x∈［0，x₁

时，证明x＜f(x)＜x₁；
(2)设函数f(x)的图像关于直线x=x₀对称，证明：x₀＜

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)证明略， (2)证明略

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解析

(1)令F(x)=f(x)－x，因为x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x－x₁)(x－x₂). 当x∈(0，x₁)时，由于x₁＜x₂，得(x－x₁)(x－x₂)＞0，
又a＞0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)＞0，即x＜f(x)
x₁－f(x)=x₁－［x+F(x)］=x₁－x+a(x₁－x)(x－x₂)=(x₁－x)［1+a(x－x₂)］
∵0＜x＜x₁＜x₂＜

，∴x₁－x＞0，1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0，由此得f(x)＜x₁.
(2)依题意: x₀=－

，因为x₁、x₂是方程f(x)－x=0的两根，即x₁，x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根.
∴x₁+x₂=－


∴x₀=－

，因为ax₂＜1，
∴x₀＜

.

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。