题文
已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式；
(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ) f(x)=x2+
.(Ⅱ) f(x)=f(a),得x2+
=a2+
, 即
=－x2+a2+
.在同一坐标系内作出f2(x)=
和f3(x)= －x2+a2+
的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐
标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+
)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)="4," f3(2)= －4+a2+
，当a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+
－8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
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解析
(Ⅰ)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a="1," ∴f1(x)= x2.设f2(x)=
(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(
,
)，B(－
,－
)
由
=8,得k="8,." ∴f2(x)=
.故f(x)=x2+
.
(Ⅱ) （证法一）f(x)=f(a),得x2+
=a2+
,
即
=－x2+a2+
.在同一坐标系内作出f2(x)=
和
f3(x)= －x2+a2+
的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐
标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+
)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)="4," f3(2)= －4+a2+
，当a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+
－8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
（证法二）由f(x)=f(a),得x2+
=a2+
,即(x－a)(x+a－
)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a－
=0化为ax2+a2x－8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2=
, x3=
,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且x2≠ x3.若x1= x3,即a=
,则3a2=
, a4=4a,得a=0或a=
,这与a>3矛盾,∴x1≠ x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.
点评：函数与方程是高中数学重要的数学思想， 将函数问题转化为方程问题求解，可以使函数中好多问题变得比较好解决
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
