设f=2-x+a•2x．求f的表达式；如果f是偶函数，求a的值；当f是偶函数时，讨论函数f在区间（

题文

设f（-x）=2^-x+a•2^x（a是常数）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果f（x）是偶函数，求a的值；
（3）当f（x）是偶函数时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令t=-x，则x=-t，于是f(t)=2t+a2t
∴f(x)=2x+a2x
（2）∵f （x）是偶函数，∴2-x+a2-x=2x+a2x对任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x-12x)=0对任意x∈R恒成立，
∴a-1=0，即a=1
（3）由（2）知a=1，f(x)=2x+12x，设0＜x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=(2x2+12x2)-(2x1+12x1)=(2x2-2x1)(1-12x1+x2)
∵x₁＜x₂，且y=2^x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂＞0，∴2x1+x2＞1  ⇒12x1+x2＜1
故1-12x1+x2＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴当x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数．

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解析

a2t

考点

据考高分专家说，试题“设f（-x）=2-x+a•2x（a是常数.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。 指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

n次方根的性质：

（1）0的n次方根是0，即

＝0（n＞1，n∈N*）；
（2）

=a（n∈N*）；
（3）当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

＝|a|。

幂的运算性质：

（1）

；
（2）

；
（3）

；
注意：一般地，无理数指数幂

（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。