已知定义在R上的函数f满足f=2，f'＜1，则不等式f＜x2+1解集______．

题文

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f'（x）＜1，则不等式f（x²）＜x²+1解集______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

令F（x）=f（x）-x，又f'（x）＜1
则F'（x）=f'（x）-1＜0
∴F（x）在R上单调递减
∵f（1）=2
∴f（x²）＜x²+1可转化成f（x²）-x²＜f（1）-1
即F（x²）＜F（1）
根据F（x）在R上单调递减则x²＞1
解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。