已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-1an(n∈N+)证明{1an-1}为等差数列，并求an；若cn=(an-1)•(87)n，求数列{

题文

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=2an-1an (n∈N+)
（1）证明{1an-1}为等差数列，并求a_n；
（2）若cn=(an-1)•(87)n，求数列{c_n}中的最小值．
（3）设f(n)=nan+4     n为奇数3an-1+2  n为偶数（n∈N⁺），是否存在m∈N⁺使得f（m+15）=5f（m）成立？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：an+1-1=2an-1an-1=an-1an，
所以 1an+1-1=anan-1=1+1an-1…（2分）
所以 {1an-1}是首项为1a1-1=1，公差为1的等差数列，
并且 1an-1=1+(n-1)×1=n，
所以可得：an=1+1n…（4分）
（2）由（1）可得：cn=1n×(87)n，根据题意设{c_n}中最小者为c_m
所以有 cm≤cm+1cm≤cm-1，即 1m×(87)m≤1m+1×(87)m+11m×(87)m≤1m-1×(87)m-1…（6分）
解得 m≥7m≤8…（8分）
所以{c_n}中最小值为c7=c8=8778…（9分）
（3）由已知得f(n)=n+53n+2n为奇数n为偶数…（10分）
①当m为奇数时，m+15为偶数，则 有f（m+15）=5f（m），
所以由题意可知：3（m+15）+2=5（m+5），解得 m=11…（12分）
②当m为偶数时，m+15为奇数，则 有（m+15）+5=5（3m+2），所以解得m=57（舍去），
故存在m=11使得等式成立…（13分）

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解析

2an-1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。