已知A，B是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．（

题文

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=12上，且AM=MB．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f(n-1n)，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式Tm-cTm+1-c＜12成立，求c和m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵点M在直线x=12上，设M(12，yM)．又AM=MB，
即AM=(12-x1，yM-y1)，MB=(x2-12，y2-yM)，
∴x₁+x₂=1．（2分）
①当x₁=12时，x₂=12，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②当x₁≠12时，x₂≠12，
y₁+y₂=2x11-2x1+2x21-2x2=2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)(1-2x1)(1-2x2)
=2(x1+x2)-8x1x21-2(x1+x2)+4x1x2=2(1-4x1x2)4x1x2-1=-2；
综合①②得，y₁+y₂=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=-2．
∴f(kn)+f(n-kn)=-2，k=1，2，3，，n-1．（7分）
n≥2时，S_n=f(1n)+f(2n)+f(3n)++f(n-1n)，①
S_n=f(n-1n)+f(n-2n)+f(n-3n)++f(1n)，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．
n=1时，S₁=0满足S_n=1-n．
∴S_n=1-n．（10分）
（Ⅲ）a_n=2Sn=2^1-n，T_n=1+12++(12)n-1=2-22n.Tm-cTm+1-c＜12⇔2(Tm-c)-(Tm+1-c)2(Tm+1-c)＜0⇔c-(2Tm-Tm+1)c-Tm+1＜0．T_m+1=2-12m，2T_m-T_m+1=4-42m-2+12m=2-32m，
∴12≤2-32m＜c＜2-12m＜2，c、m为正整数，
∴c=1，
当c=1时，2-32m＜12-12m＞1，
∴1＜2^m＜3，
∴m=1．（14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知A（x1，y1），B（x2，y2）是.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。