已知定义在R上的函数f满足：，f(1)=52，且对于任意实数x，y，总有ff=f+f成立．求f的值，并证明函数

题文

已知定义在R上的函数f（x）满足：，f(1)=52，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（II）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求证：{a_n}为等比数列；
（III）若对于任意非零实数y，总有f（y）＞2．设有理数x₁，x₂满足|x₁|＜|x₂|，判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）令x=1，y=0
∴f（1）•f（0）=f（1）+f（1）
∵f(1)=52，
∴f（0）=2．
令x=0，
∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即2f（y）=f（y）+f（-y）
∴f（y）=f（-y），对任意的实数y总成立．
∴f（x）为偶函数．
（II）令x=y=1，得f（1）f（1）=f（2）+f（0）．
∴254=f(2)+2．
∴f(2)=174．
∴a1=2f(2)-f(1)=172-52=6．
令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．
∴f(n+2)=52f(n+1)-f(n)．
a_n+1=2f（n+2）-f（n+1）
=2[52f(n+1)-f(n)]-f(n+1)4f(n+1)-2f(n)
=2[f（n+1）-2f（n）]=2a_n（n≥1）
∴{a_n}是以6为首项，以2为公比的等比数列．
（III）结论：f（x₁）＜f（x₂）．
证明：设y≠0
∵y≠0时，f（y）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（x），即f（x+y）-f（x）＞f（x）-f（x-y）．
∴对于k∈N，总有f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]成立．
∴f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]＞f[（k-1）y]-f[（k-2）y]＞…＞f（y）-f（0）＞0．
∴对于k∈N总有f[（k+1）y]＞f（ky）成立．
∴对于m，n∈N，若n＜m，则有f（ny）＜f（my）成立．
∵x₁，x₂∈Q，所以可设|x1|=q1p1，|x2|=q2p2，其中q₁，q₂是非负整数，p₁，p₂都是正整数，
则|x1|=q1p2p1p2，|x2|=p1q2p1p2．
令y=1p1p2，t=q₁p₂，s=p₁q₂，则t，s∈N．
∵|x₁|＜|x₂|，∴t＜s
∴f（ty）＜f（sy），即f（|x₁|）＜f（|x₂|）．
∵函数f（x）为偶函数．
∴f（|x₁|）=f（x₁），f（|x₂|）=f（x₂）．
∴f（x₁）＜f（x₂）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）满足：，f(.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。