已知函数y=f是R上的偶函数，对于x∈R都有f=f+f成立，且f=-2，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f(x1

题文

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x-6）=f（x）+f（3）成立，且f（0）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．则给出下列命题：
①f（2010）=-2；
②函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=-6；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根．
其中正确命题的序号是______．（请将你认为是真命题的序号都填上） 题型：未知 难度：其他题型

答案

对于①，先令x=3，即有f（-3）=f（3）+f（3），
再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0，
这样f（x-6）=f（x）+f（3）=f（x）函数f（x）的周期就是6，
因此f（2010）=f（335×6）=f（0）=-2；
对于②，∵f（x-6）=f（x）+f（3），
又∵f（-x-6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）
∴f（-6+x）=f（-6-x）
∴直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；
对于③，首先根据：当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2＞0，
说明函数在区间[0，3]上是增函数，再结合函数的周期为6，
将区间[0，3]右移6个单位，可得函数在[6，9]上为增函数
又∵函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反
∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，可得③不正确；
对于④，根据①的结论，f（-3）=f（3）=0，再结合函数周期为6
得f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，
再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点，
得函数f（x）在[-9，9]上只有以上4个零点，所以④正确．
故答案为①②④．

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解析

f(x1)-f(x2)x1-x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。