定义在上函数f满足f+f=f，且当x＞1时，f＜0，若不等式f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)对任意x，y∈（0

题文

定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设x₁＞x₂＞0，则x1x2＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（xy），
f（x₁）-f（x₂）=f（x1x2）＜0（x＞1时，f（x）＜0）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∵f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)
∴f（x2+y2）≤f（axy）
即x2+y2≥axy
x2+y2≥2xy≥axy
∴a≤2
故答案为：0＜a≤2

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解析

x1x2

考点

据考高分专家说，试题“定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。