已知函数f的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f=f+f，当x＜0时，f＜0．判断并证明f的单调性和奇偶

题文

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，π2]时，使不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，由题意知f（x₁-x₂）＜0，则f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函数．
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ]+f(3+2m)＞0，
只须 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ]＞-f(3+2m)=f(-3-2m)．        
又由f（x）为单调增函数有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ＞-3-2m．
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，π2]，∴t=2sin(θ+π4)∈[1，2]．
原命题等价于 t2-1-(m+2)t-4t+3+2m＞0对t∈[1，2] 恒成立，
∴(2-t)m＞2t-t2+4t-2，即m＞t(2-t)+2t(2-t)2-t=t+2t，
令g(t)=t+2t，g(t)在[1，2]上为减函数，故 g（t）的最大值为3，∴m＞3时，原命题成立．

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解析

4sinθ+cosθ

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。