设定义在R上的函数f满足：对任意的x，y∈R，都有f=f+f，对任意的x∈，都有f＞0，且f=2．若对任意的

题文

设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，则实数a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0；令y=-x，
f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为R上的奇函数；
∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴当-3≤x₁＜x₂≤3时，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-3，3]上是增函数，
又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[-3，3]时，-6≤f（x）≤6，
又对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，
∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。