题文
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0．（Ⅰ）验证函数f(x)=ln1-x1+x是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由1-x1+x＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）又f(x)+f(y)=ln1-x1+x+ln1-y1+y=ln(1-x1+x•1-y1+y)=ln1-x-y+xy1+x+y+xy=ln1-x+y1+xy1+x+y1+xy=f(x+y1+xy)
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴1-x1+x＞1∴ln1-x1+x＞0
故f(x)=ln1-x1+x满足这些条件．（3分）
（Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y1-xy)
当-1＜x＜y＜1时，x-y1-xy＜0，由条件知f(x-y1-xy)＞0，
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
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解析
1-x1+x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
