已知f是定义在上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f=f+f-2，且当x＞1时，f＞2，设f在[110，10

题文

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒n）=f（m）+f（n）-2，且当x＞1时，f（x）＞2，设f（x）在[110，10]上的最大值为P，最小值为Q，则P+Q=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

令n=1，得f（m﹒1）=f（m）+f（1）-2
∴f（m）=f（m）+f（1）-2，可得f（1）=2
令n=1m，得f（1）=f（m•1m）=f（m）+f（1m）-2=2，
∴f（m）+f（1m）=4，…（*）
可得f（1m）=4-f（m）
当0＜x₁＜x₂时，x2x1＞1
∴f（x2x1）=f（x₂•1x1）=f（x₂）+f（1x1）-2＞2
∵f（1x1）=4-f（x₁）
∴代入上式，可得f（x₂）+（4-f（x₁））-2＞2，得f（x₂）-f（x₁）＞0
因此f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴f（x）在[110，10]上的最大值为P=f（110），最小值为Q=f（10）
由（*）得f（110）+f（10）=4，可得P+Q=4

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解析

1m

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。