已知函数f满足对任意实数x，y都有f=f+f+xy+1，且f=-2．求f的值；证明：对一切大于1的正整数t

题文

已知函数f（t）满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t；
（3）试求满足f（t）=t的整数t的个数，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）x=y=0得f（0）=-1
x=y=-1得f（-2）=2f（-1）+2
而f（-2）=-2，∴f（-1）=-2
x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）
∴f（1）=1．
（2）x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）+n+1=f（n）+n+2
∴f（n+1）-f（n）=n+2，
∴当n∈N₊时，f（n）=f（1）+[3+4++（n+1）]=12(n2+3n-2)则f（n）-n=12(n2+n-2)
而当n∈N₊，且n＞1时，n²+n-2＞0，
∴f（n）＞n，则对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t．
（3）∵y=-x时f（x-x）=f（x）+f（-x）+1-x²
∴f（x）=x²-2-f（-x）
∵当x∈N₊时由（2）知f(x)=12(x2+3x-2)
当x=0时，f（0）=-1=12[02+3×0-2]
当x为负整数时，-x∈N₊，则f(-x)=12(x2-3x-2)，
∴f(x)=x2-2-12(x2-3x-2)=12(x2+3x-2)
故对一切x∈Z时，有f(x)=12(x2+3x-2)
∴当t∈Z时，由f（t）=t得t²+t-2=0，即t=1或t=2
∴满足f（t）=t的整数t有两个．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（t）满足对任意实数x，y都有.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。