定义在R+上的函数f对任意实数a，b∈R+，均有f=f+f成立，且当x＞1时，f＜0．求f求证：f为减函

题文

定义在R₊上的函数f（x）对任意实数a，b∈R₊，均有f（ab）=f（a）+f（b）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）
（2）求证：f（x）为减函数．
（3）当f（4）=-2时，解不等式f（x-3）+f（5）≥-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意令a=b=1得，
f（1×1）=f（1）+f（1），
得f（1）=0．
（2）设x₁，x₂∈R₊，x₁＜x₂，则x2x1＞1，
所以f(x2x1)＜0，
故f（x₂）=f(x2x1•x1)=f(x2x1)+f（x₁），
所以f（x₂）-f（x₁）=f(x2x1)＜0，
 所以f（x₂）＜f（x₁），从而f（x）为R₊上的减函数．
（3）由已知f（4）=f（2•2）=f（2）+f（2）=-2，得f（2）=-1，
所以原不等式化为：f（（x-3）•5）≥f（2），
又有（2）的结论可得：x-3＞05＞05(x-3)≤2，
解之得：3＜x≤175．

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解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“定义在R+上的函数f（x）对任意实数a，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。