已知f的定义域为，且满足f=1，对任意x1，x2，都有f=f+f，当x∈时，f

题文

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；              
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，
f（1•1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0（2分）
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴则f（x₁）-f（x₂）=f（x1x2）
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜x1x2＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）=f(x1x2)＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（7分）
（3）令x₁=x₂=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x₁=4，x₂=16，则f（64）=f（4）+f（16）=3（9分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
∴3x+1＞02x-6＞0(3x+1)(2x-6)≤64∴x∈（3，5]（12分）

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解析

x1x2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。