已知函数f对任意实数x、y均有f+2=f+f，且当x＞0时，f＞2，f=5，求不等式f＜3的解．

题文

已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a²-2a-2）＜3的解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；
用定义：任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞2
∴f（x₂）+f（-x₁）-2＞2
∴f（x₂）+f（-x₁）＞4；
对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：
f（0）=2，再取y=-x得f（x）+f（-x）=4即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x₂）+4-f（x₁）＞4
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上递增，
又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是：不等式f（a²-2a-2）＜3等价于f（a²-2a-2）＜f（1）
∴a²-2a-2＜1
∴-1＜a＜3．
所以不等式的解集为：a|-1＜a＜3．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。