定义在区间上的函数f满足对任意的实数x，y都有f=yf求f的值；若f(12)＜0，求证：f在

题文

定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x^y）=yf（x）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f(12)＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若f(12)＜0，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
证明：（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，∴存在s，t使得x₁=（12）^s，x₂=（12）^t，且s＞t．又f（12）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（12）^s]-f[（12）^t]=sf（12）-tf（12）=（s-t）f（12）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0   即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：15＜x＜25或2＜x＜3…（14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。