题文
定义在R上的函数f(x)满足,对任x、y∈R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则f(x)在[-2012,-100]上的最大值为______. 题型:未知 难度:其他题型答案
令x=y=0得:f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0;
令y=-x得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
∴y=f(x)为奇函数;
∵当x>0时,f(x)>0,
∴当x1<x2时,x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
∴y=f(x)在R上单调递增.
∴f(x)在[-2012,-100]上的最大值为f(-100).
∵f(2)=4,
∴f(-2)=-4,
∴f(-2-2)=f(-2)+f(-2)=2f(-2)=-4,即f(-4)=-8,
同理可得f(-6)=3f(-2)=-12
…,
f(-2n)=nf(-2),
∴f(-100)=50f(-2)=-200.
∴f(x)在[-2012,-100]上的最大值为-200.
故答案为:-200.
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说,试题“定义在R上的函数f(x)满足,对任x、y.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。