已知函数f对任意实数x，y，均有f=f+f，且当x＞0时，f＞0，f=-2，求f在区间[-2，1]上的值域．

题文

已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在区间[-2，1]上的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
∵f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）为增函数．
在条件中，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
再令x=y=0，则f（0）=2 f（0），
∴f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，
∴f（1）=-f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）的值域为[-4，2]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。