已知f是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有ff=f，当x＞0时，有0＜f＜1．求f的值，并证明f

题文

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有f（x）f（y）=f（x+y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明f（x）恒正；
（Ⅱ）判断f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=13，a_n=f（n）（n为正整数）．令b_n=f（S_n），问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），令x＞0，y=0，则f（x）f（0）=f（x），
∵当x＞0时，有0＜f（x）＜1，∴f（0）=1．…（2分）
当x＜0时，-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，
由于f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1
所以f(x)=1f(-x)＞1＞0，综上可知，f（x）恒正；…（4分）
（Ⅱ）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1
又由（1）可知f（x₁）＞0
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＜f（x₁）
故f（x）在实数集R上是减函数；…（8分）
（Ⅲ）由题意a1=13，a_n=f（n），
∴a1=f(1)=13，an+1=f(n+1)=f(n)f(1)=13f(n)=13an
∴数列{a_n}为以首项a1=13，公比为13的等比数列，
∴an=(13)n，Sn=12(1-13n)…（12分）
由此可知，S_n随着n的增大而增大，再根据（2）可得f（S_n）随着n的增大而减小，
所以数列{b_n}为递减数列，
从而存在最大项，其为b1=f(S1)=f(a1)=f(13)=[3]f3(13)=[3]f(1)=[3]93…（14分）

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解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。