设函数f(x)=|1-1x|，x＞0，证明：当0＜a＜b，且f=f时，ab＞1；点P在曲线y=f上，

题文

设函数f(x)=|1-1x|，x＞0，
（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1；
（2）点P （x₀，y₀） （0＜x₀＜1 ）在曲线y=f（x）上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x₀表达）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（I）∵f(x)=|1-1x|=1x-1，x∈(0，1]1-1x，x∈(1，+∞)
故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和1a-1=1-1b，即1a+1b=2⇒2ab=a+b＞2ab
故ab＞1，即ab＞1
（II）0＜x＜1时，y=f(x)=|1-1x|=1x-1，∴f′(x0)=-1x20，0＜x0＜1
曲线y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为：y-y0=-1x20(x-x0)，即y=-xx20+2-x0x0
∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x0(2-x0)，0)和(0，1x0(2-x0))
故所求三角形面积听表达式为：A (x0)=12x0(2-x0)•1x0(2-x0)=12(2-x0)2

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=|1-1x|，x＞0，（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。