题文
已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值；
（2）求证：当x∈R+时，恒有f(1x)=-f(x)；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f-1（x）存在，试根据已知恒等式猜想f-1（x）具有的性质，并给出证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），∴f（1）=0（2）证明：令y=1x，则f（1）=f（x）+f（1x），∴f(1x)=-f(x)
（3）证明：设任意x，y∈R+，且x＜y，yx=a＞1
则f（x）-f（y）=f（x）-f（x•a）=f（x）-f（x）-f（a）=-f（a）
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f（a）＜0，-f（a）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（4）猜想f-1（x）具有的性质，f-1（0）=1
证明：因为原函数与反函数关于直线y=x对称，
∵f（1）=0
∴f-1（0）=1
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
