函数f对任意的实数x，y，均有f=f+f，且当x＞0，f＜0．判断函数f的奇偶性并说明理由；证明：函数f（x

题文

函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，求a的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x=0
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）为奇函数…（3分）
证明：（2）任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，设x₂=x₁+t，t＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是减函数…（2分）
（3）∵y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]=0
∴f（ax²-a²x）=f[（a+1）（x-1）]
即ax²-a²x=（a+1）（x-1）
∴ax²-（a²+a+1）x+a+1=（ax-1）[x-（a+1）]=0…（1分）
①a=0时，x=1∈（0，2）符合…（1分）
②a≠0时，则1a∈（0，2）或a+1∈（0，2）
∴a≥12或-1＜a＜1且a≠0…（2分）
综上a∈（-1，+∞）…（1分）

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。