题文
已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(12)=-1，对任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)成立，又数列{an}满足a1=12，an+1=2a1+a2n．（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(12)；
（II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式；
（III）设cn=n2bn+2，bn=1f(a1)+1f(a2)+1f(a3)+…+1f(an)，是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜67log22m-187log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）f(t)=2f(12)=f(12)+f(12)=f(12+121+12×12)=f(45)，∴t=45…（2分）
（II）∵f(a1)=f(12)=-1，
且f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，
∴f(an+1)=f(2an1+a2n)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即f(an+1)f(an)=2
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(an)=-2n-1．…（6分）
（III）由（II）得，bn=-(1+12+122+…+12n-1)=-1-12n1-12=-2+12n-1…（8分）
∴cn=n2bn+2=-n+n2n+2，…（9分）
则cn+1-cn=-(n+1)+n+12n+1+2-[-n+n2n+2]
=n+12n+1-n2n-1
=1-n2n+1-1＜0，
∴{cn}是减数列，
∴cn≤c1=-1+12+2=32，
要使7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
只需6log22m-18log2m＞212，
即4log 22m-12log2m-7＞0，
故log2m＜-12，或log2m＞72，
∴0＜m＜22，或m＞82≈11.31，
∴当m≥12，且m∈N*时，7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
∴m的最小正整数值为12．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
