题文
已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx， x≥1的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5．（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，∴f′（x）=-3x2+2x+b．…（2分）
依题意f′（-1）=-5，
∴-3（-1）2+2（-1）+b=-5，∴b=0，
∴f（0）=0，∴c=0，
∴b=0，c=0．…（4分）
（2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，
f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，有-3x2+2x=0，∴x=0，x=23．…（6分）
x-1（-1，0）0（0，23）23（23，1）1f′（x）-0+0-f（x）2↘↗↘…（8分）
f（-1）=2；f（0）=0；f（23）=427；f（1）=0．
∴当x∈[-1，1）时，f（x）最大值为2．…（9分）
当x∈[1，2]时，
当a＜0时，f（x）是减函数；当a=0时，f（x）=0，此时f（x）max=0；…（10分）
当a＞0时，f（x）是增函数，f（x）max=f（2）=aln2．…（11分）
∵当a≤2ln2时，有2≥aln2，f（x）max=2，
当a＞2ln2时，有2＜aln2，f（x）max=aln2．…（12分）
∴f(x)max=2，(a≤2ln2)aln2，(a＞2ln2)．…（13分）
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解析
23考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
