函数f满足f(-1)=14，对任意x，y∈R有4f(x+y2)f(x-y2)=f(x)+f(y)，则f______．

题文

函数f（x）满足f(-1)=14，对任意x，y∈R有4f(x+y2)f(x-y2)=f(x)+f(y)，则f（-2012）______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（-1）=14，令x=y=-1，有4f（-1）f（0）=2f（-1）=12，
∴f（0）=12，
令y=-x，有4f（0）f（x）=f（x）+f（-x），即2f（x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数；
令x=-2，y=0，有4[f（-1）]²=f（-2）+f（0），解得f（-2）=-14①；
令x=-4，y=0，有4[f（-2）]²=f（-4）+f（0），解得f（-4）=-14②；
再令x=4，y=2，有4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（3）=14；
令x=-6，y=0，有4[f（-3）]²=f（-6）+f（0），解得f（-6）=-14③；
…
∴f（-2n）=-14．
∴f（-2012）=-14．

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解析

14

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）满足f(-1)=14，对任意.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。