设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)…]}n个f，已知f(x)=2(1-x)(0≤x≤1)x-1(1＜x≤2)．解不等式：f≤x；（2

题文

设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)…]}n个f，已知f(x)=2(1-x)(0≤x≤1)x-1(1＜x≤2)．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）求f2008(89)的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥23．
∴23≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|23≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f₃（x）=x．
（3）f1(89)=2(1-89)=29，
f2(89)=f(f(89))=f(29)=149，
f3(89)=f(f2(89))=f(149)=149-1=59，
f4(89)=f(f3(89))=f(59)=2(1-59)=89，
一般地，f4k+r(89)=fr(89)（k，r∈N）．
∴f2008(89)=f0(89)=89

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。