已知定义在集合的函数y=f满足条件：对于任意的x，y∈，f=f+f，且当x＞1时，f＞0试举出满

题文

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1） 试举出满足条件的一个函数
（2） 证明f（1）=0；
（3） 讨论函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解．（1）y=log₂^x．
（2）证明：因为对于任意x，y∈（0，+∞），有f（x•y）=f（x）+f（y）
所以可令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0．
（3）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
则f(x1)-f(x2)=f(x1x2•x2)-f(x2)=f(x1x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1x2)．
因为x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
所以x1x2＞1，又当x＞1时有f（x）＞0
所以f(x1x2)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x₁）＞f（x₂）函数在（0，+∞）是单调增函数．

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解析

x1x2

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。