对任意正整数x，y都有f=f•f，且f=12，则limn→∞[f+f+f+…+f]=A．14B．1C

题文

对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=12，则limn→∞[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（ ）A．14B．1C．-12D．12 题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（x+y）=f（x）•f（y）得 f（2x）=f（x）²⇒f(2x)f(x)=f（x）．
∵f （x+y）=f （x）•f （y）⇒f （x+1）=f （x）•f （2）=2f（x）⇒f(x+1)f(x)=12，
所以数列{f（n）}是以12为首项，12为公比的等比数列，故f（n）=12×12^n-1=（12）ⁿ．
∴f(2n)f(n)=f（n）=（12）ⁿ．
则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（12）¹+（12）²+（12）³+…+(12)ⁿ=12(1-12n)1-12=1-（12）ⁿ．
limn→∞[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=limn→∞[1-（12）ⁿ]=1
故选B．

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解析

f(2x)f(x)

考点

据考高分专家说，试题“对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。