函数f的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f=f+f．求f与f的值；判断函

题文

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）若x＞1时，f（x）＞0，求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（4）在（3）的条件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定义域关于原点对称可得f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则x2x1＞1，f(x2x1)＞0，
则f(x2)=f(x2x1•x1)=f(x2x1)+f(x1)＞f(x1)，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2变形为f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的条件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈[-173，-13)∪(-13，5]．

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解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。