已知函数f，对任意x，y∈R都有f=f+f，当x＜0时，f＞0，且f=2求f的值求证：函数f为

题文

已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，且f（-1）=2
（1）求f（0）的值
（2）求证：函数f（x）为奇函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）得：f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（4分）
（2）证明：∵函数f（x）的定义域为R，令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴函数f（x）是奇函数．（10分）
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，∵当x＜0时，f（x）＞0，∴f（x₁-x₂）＞0∴f（x₁）+f（-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）为R上的单调减函数，∴函数f（x）在[-2，1]上的最大值f_max（x）=f（-2）=f（-1）+f（-1）=2+2=4，f_min（x）=f（1）=-f（-1）=-2．（16分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。