已知定义在R上的函数f，对任意的实数m、n，都有f=ff成立，且当x＞0时，有f＞1成立．求f的值，并证明当x＜0

题文

已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（1）=2，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），记Sn=1a1+1a2+…+1an，且对一切正整数n有f(1-m)＞2Sn恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
由题意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
若x＜0，则f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴f(x)=1f(-x)．
由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R且设x₁＞x₂，
由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
∴f(x1)f(x2)=f(x1-x2+x2)f(x2)=f(x1-x2)，（7分）∵x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）anan-1=f(n)f(n-1)=f(1)=2，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴a_n=2ⁿ．Sn=1a1+1a2++1an=12[1-(12)n]1-12=1-(12)n．
又对一切正整数n，有f(1-m)＞2Sn恒成立，
即f(1-m)≥2恒成立．
又f（1）=2，∴f(1-m)≥f(1)恒成立．
又由（Ⅱ）得1-m≥1，
解得m的取值范围是m≤0．

点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习

解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x），对任意的实.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。