已知奇函数f，当x＞0时，f=x+1，求f在R上的表达式．设定义在[-2，2]上的偶函数f在区间[0，2

题文

（Ⅰ）已知奇函数f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式．
（Ⅱ）设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0．
当x＜0时，-x＞0，故有f（-x）=-x[5-（-x）]+1=-x（5+x）+1．
所以f（x）=-f（-x）=x（5+x）-1．
所以f(x)=x(5-x)+1(x＞0)0(x=0)x(5+x)-1(x＜0).
（2）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），
所以不等式f（1-m）＜f（m）⇔f（|1-m|）＜f（|m|）．
又f（x）在区间[0，2]上单调递减，
所以|1-m＞|m-2≤1-m≤2-2≤m≤2.解得-1≤m＜12．

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解析

x(5-x)+1(x＞0)0(x=0)x(5+x)-1(x＜0).

考点

据考高分专家说，试题“（Ⅰ）已知奇函数f（x）（x∈R），当x.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。