设函数f的定义域为．对任意的x＞0，y＞0．都有f(xy)=f(x)-f(y)恒成立，且当x＞1时，f＞0．求f的值；

题文

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）．对任意的x＞0，y＞0．都有f(xy)=f(x)-f(y)恒成立，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）探究f（x）在（0，+∞）上是否具有单调性；
（3）你能找出符合本题条件的一个函数吗？请将你找到的函数写出来． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
所以所求的值为：f（1）=0
（2）设0＜x₁＜x₂，令x=x₁，y=x₂，
则f(x2x1)=f(x2)-f(x1)，∵0＜x₁＜x₂，
∴x2x1＞1，∴f(x2x1)＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）由条件和结论，可找到函数y=log₂x符合题意．

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解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域为（0，+∞）．对.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。