定义在R上的函数f满足：f=f+f对一切的实数x，y都成立，并且当x＞0时f＞0． 判断函数f的奇偶性； 记

题文

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）对一切的实数x，y都成立，并且当x＞0时f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性； 
（2）记g（x）=f²（x），求使g（3x-1）＜g（2x-9）成立的x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），故f（0）=0．又令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），故f（-x）=-f（x），从而f（x）是奇函数；
（2）法一：因f（x）是奇函数，且当x＞0时f（x）＞0，故当x＜0时f（x）=-f（-x）＜0．又因为f（0）=0，所以x＞0⇔f（x）＞0，x＜0⇔f（x）＜0．由题得f²（3x-1）＜f²（2x-9）⇔[f（3x-1）+f（2x-9）][f（3x-1）-f（2x-9）]＜0⇔f（3x-1+2x-9）•f（3x-1-2x+9）＜0⇔f(5x-10)＞0f(x+8)＜0或f(5x-10)＜0f(x+8)＞0⇔5x-10＞0x+8＜0或5x-10＜0x+8＞0，解得-8＜x＜2．
法二：因f（x）是奇函数，故g（x）是偶函数，得g（x）=g（|x|），故g（|3x-1|）＜g（|2x-9|）．
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函数．又当x＞0时f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函数．所以|3x-1|＜|2x-9|，平方可得（3x-1）²＜（2x-9）²⇔（x+8）（5x-10）＜0⇔-8＜x＜2．
法三：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函数．又当x＞0时f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函数．因f（x）是奇函数，故g（x）是偶函数． 
（1）当3x-1≥02x-9≥0即x≥92时，有3x-1＜2x-9，解得x＜-8； 
（2）当3x-1＜02x-9＜0即x＜13时，有g（1-3x）＜g（9-2x），故1-3x＜9-2x，即x＞-8； 
（3）当3x-1≥02x-9＜0即13≤x＜92时，有g（3x-1）＜g（9-2x），故3x-1＜9-2x，解得x＜2； 
（4）当3x-1＜02x-9≥0时，x∈Φ．综上可知-8＜x＜2．

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解析

f(5x-10)＞0f(x+8)＜0

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。