题文
设函数f（x）定义在R上，f（0）≠0，且对于任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）．（1）求证：f（x）为偶函数；
（2）若存在正数m使f（m）=0，求证：f（x）为周期函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令a=b=0，得2f（0）=2f2（0）．∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令a=0，b=x，则f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数．
（2）问题就是要证：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T为何值呢？T与 m又有何关系？不难发现一个特殊函数f（x）=cosx满足题设条件，且cos0=1，而f(π2)=0，又y=cosx为周期函数且周期为2π，它是π2的4倍，于是猜想f（x）是以4m为周期的周期函数．故在条件式中令
a=m，b=x，则f（m+x）+f（m-x）=2f（m）f（x）=0，故f（m+x）=-f（m-x）．
令x取m+x，则
f（2m+x）=-f（-x）=-f（x）．
∴f（4m+x）=-f（2m+x）=-（-f（x））=f（x），得证．
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解析
π2考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）定义在R上，f（0）≠0，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
