已知f(x)=3+x1+x2，0≤x≤3f(3)，x＞3.求函数f的单调区间；若关于x的方程f-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围

题文

已知f(x)=3+x1+x2，0≤x≤3f(3)，x＞3.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知数列{an}满足：0＜an≤3，n∈N*，且a1+a2+a3+…a2009=20093，若不等式f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x＞3时，f(x)=f(3)=35是常数，不是单调函数；
当0≤x≤3时，f（x）=3+x1+x2，
令f'（x）＞0解得x∈（0，10-3）
与f'（x）＜0解得x∈（10-3，3）
∴f（x）的单调增区间是（0，10-3）
f（x）的单调减区间是（10-3，3）
（2）由（1）知，f(0)=3，f(x)max=f(10-3)=12(10-3)=10+32，f(3)=35
则方程f（x）-a=0恰有一个实数解
表示直线y=a与函数f（x）的图象有且只有一个交点
则35＜a＜3，或a=10+32
（3）a1=a2=…=a2009=13时f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）=6027
f（x）=3+x1+x2在x=13处的切线为y=310(11-3x)
则有f(x)=3+x1+x2≤310(11-3x)⇔(x-3)(x-13)2≤0成立
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027
设g（x）=x-ln（x-p），g'（x）＞0解得x＞p+1
g'（x）＜0解得p＜x＜p+1，∴g（x）的最小值为p+1
只需p+1≥6027
∴p的最小值为6026

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解析

35

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=3+x1+x2，0≤x≤3.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。