已知a为实数，且0＜a＜1，f是定义在[0，1]上的函数，满足f=0，f=1，对所有x≤y，均有f=f+af

题文

已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（x+y2）=（1-a）f（x）+af（y），则a的值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（x+y2）=（1-a）f（x）+af（y），
令x=0，y=1，可得f（12）=（1-a）f（0）+af（1）=a，
令x=0，y=12，可得f（14）=（1-a）f（0）+af（12）=a²，
令x=12，y=1，可得f（34）=（1-a）f（12）+af（1）=2a-a²，
令x=14，y=34，可得f（12）=（1-a）f（14）+af（34）
∴a=（1-a）a²+a（2a-a²）
∴a（2a-1）（a-1）=0
∵0＜a＜1，
∴a=12
故答案为：12

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解析

x+y2

考点

据考高分专家说，试题“已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。