题文
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足（ⅰ）对任意x、y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy）
（ⅱ）当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，试研究f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）与f（12）的关系． 题型：未知 难度：其他题型
答案
在（ⅰ）中，令x=y=0，可得到f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0，令x=-y，可得f（x）+f（-x）=f（0），
则f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数；
又由（ii），当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，
当x∈（0，1）时，则-x∈（-1，0）
f（x）=-f（-x）＜0，
即当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
f（1n2+3n+1）=f（1n+1）+f（-1n+2）=f（1n+1）-f（1n+2）
则f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）=[f（12）-f（13）]+[f（13）-f（14）]+…+[f（1n+1）-f（1n+2）]
=f（12）-f（1n+2）；
∵0＜1n+2＜1，
∴f（1n+2）＜0；
则f（12）-f（1n+2）＞f（12），
故f（15）+f（111）+…+f（1n2+3n+1）＞f（12）．
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解析
1n2+3n+1考点
据考高分专家说，试题“定义在（-1，1）上的函数f（x）满足（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
