设f是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f=f•f，且当x＞0时，0＜f＜1．求证：f=1；求证：当x∈R时

题文

设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n），
则f（0）=1
（2）由（1）中结论可得：
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1，
∴f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）＞1，
又由x=0时，f（0）=1
故当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，
∴f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）•f（x₁-x₂）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
所以f(x1)f(x2)=f（x₁-x₂）＜1
所以f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是减函数

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解析

f(x1)f(x2)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。