已知f是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，，满足f=af+bf，f(2)=2，an=f(2n)n(n∈N*)，bn

题文

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，，满足f（a•b）=af（b）+bf（a），f(2)=2，an=f(2n)n(n∈N*)，bn=f(2n)2n(n∈N*)
考查下列结论：
（1）f（0）=f（1）；
（2）f（x）为偶函数；
（3）数列{a_n}为等比数列；
（4）limn→∞(1+1bn)bn=e．
其中正确的是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

对于（1），∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，故（1）正确；
对于（2），∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，故（2）错；
对于（3），f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴b_n=n，，∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ，∴a_n=2ⁿ
故数列{a_n}是等比数列，故（3）正确；
对于（4），b_n=n，limn→∞(1+1bn)bn=limn→∞(1+1n)n=e，故（4）正确．

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解析

limn→∞

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。