若函数f对任意的x∈R，均有f+f≥2f，则称函数f具有性质P．判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=a

题文

若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．
（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．
①y=a^x（a＞1）；    ②y=x³．
（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*），
求证：对任意i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）①函数f（x）=a^x（a＞1）具有性质P．…（1分）
f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=ax-1+ax+1-2ax=ax(1a+a-2)，
因为a＞1，ax(1a+a-2)＞0，…（3分）
即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
此函数为具有性质P．
②函数f（x）=x³不具有性质P．…（4分）
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，2f（x）=-2，…（5分）
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），
此函数不具有性质P．
（Ⅱ）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，…（6分）
则f（i）-f（i-1）＞0，
因为函数f（x）具有性质P，
所以，对于任意n∈N^*，均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥…≥f（i）-f（i-1）＞0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）＞0，
与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0．…（9分）
（Ⅲ）不成立．
例如f(x)=x(x-n)x为有理数x2 x为无理数.…（10分）
证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²-n（x-1+x+1-2x）=2，
当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²=2
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P．…（12分）
而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．…（13分）
（其他反例仿此给分．
如f(x)=0  (x为有理数)1   (x为无理数)，f(x)=0  (x为整数)1  (x为非整数)，f(x)=0    (x为整数)x2  (x为非整数)，等．）

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。