已知定义域在R上的单调函数，存在实数x0，使得对于任意的实数x1，x2总有f=f+f+f恒成立．求x0的值；

题文

已知定义域在R上的单调函数，存在实数x₀，使得对于任意的实数x₁，x₂总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（1）=1，且对于任意的正整数n，有a_n=1f(n)，b_n=f（12n）+1
（Ⅰ）若S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n；
（Ⅱ）若T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x₀）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x₀=1
（2）由（1）可得 f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1 （n∈N^*），
∴a_n=12n-1
∴S_n=11×3+13×5+…+1(2n-1)×(2n+1)=12（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）
又∵f（1）=f（12+12）=f（12）+f（12）+f（1），∴f（12）=0，∴b₁=f（12）+1=1
∵f（12n）=f（12n+1+12n+1）=f（12n+1）+f（12n+1）+f（1）=2f（12n+1）+1
∴b_n=f（12n）+1=2f（12n+1）+2=2b_n+1
∴bn=b1×(12)n-1=(12)n-1
∴b_nb_n+1=(12)n-1×(12)n=12×(14)n-1
∴T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=12×(1- (14)n )1-14=23[1-(14)n]

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解析

12n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域在R上的单调函数，存在实数x0.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。